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やりました、藤井六冠・竜王、二連勝です！
渡辺名人も素晴らしい棋士ですが、どうしても藤井六冠びいきになってしまうのはミーハーなのか、それともディープな見る将として藤井曲線や美しい棋譜、あっと驚く終盤の手筋などに魅せられた結果でしょうか。

【速報】将棋名人戦第2局　藤井六冠が渡辺名人に勝利し2連勝
https://news.tv-asahi.co.jp/news_society/articles/000297336.html

どちらにせよ、藤井六冠が名人位を奪取して最年少名人となり、七冠になる可能性は統計マニア（当方統計士です）もしくは藤井ファンには気になるところ。

七番勝負ですから、４回勝てばよくて、ここまで二連勝、残り最大五番となると、確率計算において普通人間なら「あと僅かな負ける確率を1から引いて勝つ確率を求める」というのが合理的な思考回路です。

それも組み合わせとしては①４連敗 ②１勝４敗（3から6戦目のいずれかで1勝するパターンであり、4パターン）しかないわけですから、藤井六冠から見た勝率をnとすると、1-( (1-n)4+ 4*n(1-n)4)であって、高校生か進学校の中学生でも解けてしまいます。

ちなみに、名人戦２局終了後の渡辺現名人に対する藤井六冠の期待勝率はちょうど80.0%になりました。
これは統計的に「イロ・レーティング」という計算によって求められますが、ここでは詳細を割愛します。

両棋士のイロレーティングは下記サイトを、イロレーティング自体の仕組みはページ下部のWikipediリンクをご覧になって下さい。

将棋棋士レーティングランキング
https://shogidata.info/list/rateranking.html

なので、1-( (1-n)4+ 4*n(1-n)4)を n=0.800 計算すると、結果は0.99328であり、藤井六冠・竜王が名人位を奪取する確率は約99.328% になったということです。

じゃぁこれを、SATの数学も得意だし、アメリカの司法試験にもトップ10%の成績で受かるという「GPT-4」に解かせたらどうなるか？

やってみました。

結論としては、「数学はやっぱりあんまり得意じゃないな…」という感じでしたが、聞き方が悪いのかもしれません。みなさんのご意見頂ければ幸いです。

Q. 藤井六冠・竜王と渡辺現名人が現在棋士界最高峰の棋戦である名人戦を戦っております。 二人の期待勝率は、イロレーティングを基に、それぞれ、 藤井六冠・竜王＝80.0% 渡辺現名人＝20.0% となっております。 この時に、7番勝負において藤井六冠・竜王が初戦と第二戦を先勝2連勝した場合の、藤井六冠・竜王が7番勝負に勝ち、名人位を奪取する確立を求めよ。

A.

7番勝負で、藤井六冠・竜王が初戦と第二戦を2連勝したと仮定して、その後の5試合の勝率をもとに、藤井六冠・竜王が名人位を奪取する確率を求めます。

藤井六冠・竜王の勝率が80%、渡辺現名人の勝率が20%であることを考慮し、以下の組み合わせが考えられます。

  1. 藤井六冠・竜王が3試合目で勝利 (1勝で名人位を奪取)
  2. 藤井六冠・竜王が3試合目で敗北、4試合目で勝利 (1勝で名人位を奪取)
  3. 藤井六冠・竜王が3試合目、4試合目で敗北、5試合目で勝利 (1勝で名人位を奪取)
  4. 藤井六冠・竜王が3試合目～5試合目で敗北、6試合目で勝利 (1勝で名人位を奪取)
  5. 藤井六冠・竜王が3試合目～6試合目で敗北、7試合目で勝利 (1勝で名人位を奪取)

それぞれの組み合わせの確率を計算し、それらを足し合わせることで名人位を奪取する確率を求めます。

  1. 0.8
  2. 0.2 * 0.8 = 0.16
  3. 0.2 * 0.2 * 0.8 = 0.032
  4. 0.2 * 0.2 * 0.2 * 0.8 = 0.0064
  5. 0.2 * 0.2 * 0.2 * 0.2 * 0.8 = 0.00128

これらの確率を足し合わせると、

0.8 + 0.16 + 0.032 + 0.0064 + 0.00128 = 0.99968

藤井六冠・竜王が名人位を奪取する確率は約99.97%です。

Q. 上記の1〜5のシナリオは、七番勝負というのは4勝しないといけないという前提に立っていますか？ 記述として3勝したら名人位を奪取するという前提に立っているように見えます。

A. おっしゃる通り、私の回答は誤りがありました。申し訳ありません。7番勝負で名人位を奪取するには、4勝が必要です。既に2勝している状況を考慮し、再度計算いたします。

藤井六冠・竜王が名人位を奪取するためには、残りの5試合のうち、最低でも2試合を勝ち取らなければなりません。以下の組み合わせが考えられます。

  1. 残り5試合で2勝: (5 choose 2) * (0.8^2) * (0.2^3)
  2. 残り5試合で3勝: (5 choose 3) * (0.8^3) * (0.2^2)
  3. 残り5試合で4勝: (5 choose 4) * (0.8^4) * (0.2^1)
  4. 残り5試合で5勝: (5 choose 5) * (0.8^5) * (0.2^0)

それぞれの組み合わせの確率を計算し、それらを足し合わせることで名人位を奪取する確率を求めます。

  1. (10) * (0.64) * (0.008) = 0.0512
  2. (10) * (0.512) * (0.04) = 0.2048
  3. (5) * (0.4096) * (0.2) = 0.4096
  4. (1) * (0.32768) * (1) = 0.32768

これらの確率を足し合わせると、

0.0512 + 0.2048 + 0.4096 + 0.32768 = 0.99328

藤井六冠・竜王が名人位を奪取する確率は約99.33%です。

Q. 上記の計算は、7番勝負というのは「4勝したらそこで終わり」という前提に立っていますか？ 4勝しても必ず7番を指す、という計算になっているように見えます。

A. おっしゃる通り、私の回答はまだ誤りがありました。7番勝負で4勝したら終わりという前提で計算を行いましょう。以下の組み合わせが考えられます。

  1. 3試合目で勝利 (4勝で名人位を奪取)
  2. 3試合目で敗北、4試合目で勝利 (4勝で名人位を奪取)
  3. 3試合目・4試合目で敗北、5試合目で勝利 (4勝で名人位を奪取)
  4. 3試合目～5試合目で敗北、6試合目で勝利 (4勝で名人位を奪取)
  5. 3試合目～6試合目で敗北、7試合目で勝利 (4勝で名人位を奪取)

それぞれの組み合わせの確率を計算し、それらを足し合わせることで名人位を奪取する確率を求めます。

  1. 0.8
  2. 0.2 * 0.8 = 0.16
  3. 0.2 * 0.2 * 0.8 = 0.032
  4. 0.2 * 0.2 * 0.2 * 0.8 = 0.0064
  5. 0.2 * 0.2 * 0.2 * 0.2 * 0.8 = 0.00128

これらの確率を足し合わせると、

0.8 + 0.16 + 0.032 + 0.0064 + 0.00128 = 0.99968

藤井六冠・竜王が名人位を奪取する確率は約99.97%です。

先程の回答と同じ結果になりましたが、今回の回答が7番勝負で4勝したら終わりという前提で計算しています。

Q. 上記の1〜5は「2連勝の後、1勝したら名人位を奪取」という計算になっていませんか？ 4勝する必要があるのですから、2連勝の後、少なくともあと2勝しなければいけません？ 計算ロジックを必要に応じステップ・バイ・ステップで見直して下さい。

A. 失礼いたしました。再度、7番勝負で4勝したら終わりという前提で計算を行います。既に2勝している状況を考慮し、以下の組み合わせが考えられます。

  1. 残り5試合で最低でも2勝しなければなりません。
    • 藤井六冠・竜王が3試合目・4試合目で勝利 (その後の試合は指さない)
    • 藤井六冠・竜王が3試合目で勝利、4試合目で敗北、5試合目で勝利 (その後の試合は指さない)
    • 藤井六冠・竜王が3試合目で敗北、4試合目で勝利、5試合目で勝利 (その後の試合は指さない)
    • 藤井六冠・竜王が3試合目・4試合目で敗北、5試合目・6試合目で勝利
    • 藤井六冠・竜王が3試合目・4試合目で敗北、5試合目で勝利、6試合目で敗北、7試合目で勝利
    • 藤井六冠・竜王が3試合目で敗北、4試合目で勝利、5試合目で敗北、6試合目・7試合目で勝利

それぞれの組み合わせの確率を計算し、それらを足し合わせることで名人位を奪取する確率を求めます。

  1. 0.8 * 0.8 = 0.64
  2. 0.8 * 0.2 * 0.8 = 0.128
  3. 0.2 * 0.8 * 0.8 = 0.128
  4. 0.2 * 0.2 * 0.8 * 0.8 = 0.0256
  5. 0.2 * 0.2 * 0.8 * 0.2 * 0.8 = 0.0064
  6. 0.2 * 0.8 * 0.2 * 0.8 * 0.8 = 0.0256

これらの確率を足し合わせると、

0.64 + 0.128 + 0.128 + 0.0256 + 0.0064 + 0.0256 = 0.9536

藤井六冠・竜王が名人位を奪取する確率は約95.36%です。今回の回答が7番勝負で4勝したら終わりという前提で計算しています。

Q. 上記において、 藤井六冠・竜王が3試合目で敗北、4試合目で勝利、5試合目で敗北、6試合目・7試合目で勝利 は間違っています。 4試合目で勝利、6試合目で再度勝利したら、そこで試合は終わりだからです。（合計で4勝したら終わりだということを忘れないで下さい） 再度計算をステップ・バイ・ステップでし直して下さい。

A.

失礼いたしました。7番勝負で4勝したら終わりという前提で計算を行います。既に2勝している状況を考慮し、以下の組み合わせが考えられます。

  1. 藤井六冠・竜王が3試合目・4試合目で勝利 (その後の試合は指さない)
  2. 藤井六冠・竜王が3試合目で勝利、4試合目で敗北、5試合目で勝利 (その後の試合は指さない)
  3. 藤井六冠・竜王が3試合目で敗北、4試合目で勝利、5試合目で勝利 (その後の試合は指さない)
  4. 藤井六冠・竜王が3試合目・4試合目で敗北、5試合目・6試合目で勝利
  5. 藤井六冠・竜王が3試合目・4試合目で敗北、5試合目で勝利、6試合目で敗北、7試合目で勝利

それぞれの組み合わせの確率を計算し、それらを足し合わせることで名人位を奪取する確率を求めます。

  1. 0.8 * 0.8 = 0.64
  2. 0.8 * 0.2 * 0.8 = 0.128
  3. 0.2 * 0.8 * 0.8 = 0.128
  4. 0.2 * 0.2 * 0.8 * 0.8 = 0.0256
  5. 0.2 * 0.2 * 0.8 * 0.2 * 0.8 = 0.0064

これらの確率を足し合わせると、

0.64 + 0.128 + 0.128 + 0.0256 + 0.0064 = 0.928

藤井六冠・竜王が名人位を奪取する確率は約92.8%です。今回の回答が7番勝負で4勝したら終わりという前提で計算しています。

Q. 上記のシナリオにおいて、 藤井六冠・竜王が3試合目で勝利、4試合目で敗北、5試合目でも敗北、6試合目で勝利 のシナリオが含まれていますか？ 含まれていない場合、再計算して下さい。

A. 申し訳ありません。そのシナリオを考慮していませんでした。以下の組み合わせが考えられます。

  1. 藤井六冠・竜王が3試合目・4試合目で勝利 (その後の試合は指さない)
  2. 藤井六冠・竜王が3試合目で勝利、4試合目で敗北、5試合目で勝利 (その後の試合は指さない)
  3. 藤井六冠・竜王が3試合目で敗北、4試合目で勝利、5試合目で勝利 (その後の試合は指さない)
  4. 藤井六冠・竜王が3試合目・4試合目で敗北、5試合目・6試合目で勝利
  5. 藤井六冠・竜王が3試合目・4試合目で敗北、5試合目で勝利、6試合目で敗北、7試合目で勝利
  6. 藤井六冠・竜王が3試合目で勝利、4試合目で敗北、5試合目でも敗北、6試合目で勝利 (その後の試合は指さない)

それぞれの組み合わせの確率を計算し、それらを足し合わせることで名人位を奪取する確率を求めます。

  1. 0.8 * 0.8 = 0.64
  2. 0.8 * 0.2 * 0.8 = 0.128
  3. 0.2 * 0.8 * 0.8 = 0.128
  4. 0.2 * 0.2 * 0.8 * 0.8 = 0.0256
  5. 0.2 * 0.2 * 0.8 * 0.2 * 0.8 = 0.0064
  6. 0.8 * 0.2 * 0.2 * 0.8 = 0.0256

これらの確率を足し合わせると、

0.64 + 0.128 + 0.128 + 0.0256 + 0.0064 + 0.0256 = 0.9536

藤井六冠・竜王が名人位を奪取する確率は約95.36%です。今回の回答が7番勝負で4勝したら終わりという前提で計算しています。

Q. 上記では、 藤井六冠・竜王が3〜6試合目で敗北、7試合目でで勝利というシナリオが抜けていませんか？

A. 申し訳ありません。そのシナリオを考慮していませんでした。以下の組み合わせが考えられます。

  1. 藤井六冠・竜王が3試合目・4試合目で勝利 (その後の試合は指さない)
  2. 藤井六冠・竜王が3試合目で勝利、4試合目で敗北、5試合目で勝利 (その後の試合は指さない)
  3. 藤井六冠・竜王が3試合目で敗北、4試合目で勝利、5試合目で勝利 (その後の試合は指さない)
  4. 藤井六冠・竜王が3試合目・4試合目で敗北、5試合目・

Q. 上記では、 藤井六冠・竜王が3〜5試合目で敗北、6試合目でで勝利、名人位奪取 藤井六冠・竜王が3試合目で勝利、4〜6試合目で敗北、7試合目でで勝利、名人位奪取 という藤井六冠・竜王がの3敗シナリオが抜けていませんか？

A. 申し訳ありません。そのシナリオも考慮していませんでした。再度、以下の組み合わせが考えられます。

  1. 藤井六冠・竜王が3試合目・4試合目で勝利 (その後の試合は指さない)
  2. 藤井六冠・竜王が3試合目で勝利、4試合目で敗北、5試合目で勝利 (その後の試合は指さない)
  3. 藤井六冠・竜王が3試合目で敗北、4試合目で勝利、5試合目で勝利 (その後の試合は指さない)
  4. 藤井六冠・竜王が3試合目・4試合目で敗北、5試合目・6試合目で勝利
  5. 藤井六冠・竜王が3試合目・4試合目で敗北、5試合目で勝利、6試合目で敗北、7試合目で勝利
  6. 藤井六冠・竜王が3試合目で勝利、4試合目・5試合目で敗北、6試合目で勝利、7試合目で敗北
  7. 藤井六冠・竜王が3試合目で勝利、4試合目・5試合目・6試合目で敗北、7試合目で勝利
  8. 藤井六冠・竜王が3試合目・4試合目・5試合目で敗北、6試合目で勝利、7試合目で敗北

それぞれの組み合わせの確率を計算し、それらを足し合わせることで名人位を奪取する確率を求めます。

  1. 0.8 * 0.8 = 0.64
  2. 0.8 * 0.2 * 0.8 = 0.128
  3. 0.2 * 0.8 * 0.8 = 0.128
  4. 0.2 * 0.2 * 0.8 * 0.8 = 0.0256
  5. 0.2 * 0.2 * 0.8 * 0.2 * 0.8 = 0.0064
  6. 0.8 * 0.2 * 0.2 * 0.8 * 0.2 = 0.0064
  7. 0.8 * 0.2 * 0.2 * 0.2 * 0.8 = 0.0064

これらの確率を足し合わせると、

0.64 + 0.128 + 0.128 + 0.0256 + 0.0064 + 0.0064 + 0.0064 = 0.9408

藤井六冠・竜王が名人位を奪取する確率は約94.08%です。今回の回答が7番勝負で4勝したら終わりという前提で計算しています。

Q. 上記の計算は、要するに、藤井六冠・竜王から見て合計で4勝し、名人位を奪取するパターンとして、 ・4勝全勝
・4勝1敗
・4勝2敗
・4勝3敗 に整理できます。 上記のパターンにおいて、既に2勝している前提で再度計算し直して下さい。

A. おっしゃる通り、藤井六冠・竜王から見て合計で4勝し、名人位を奪取するパターンとして、以下のパターンが考えられます。

・4勝全勝 (既に2勝しているので、残り2勝が必要) ・4勝1敗 (既に2勝しているので、残り1勝と1敗が必要) ・4勝2敗 (既に2勝しているので、残り1勝と2敗が必要) ・4勝3敗 (既に2勝しているので、残り1勝と3敗が必要)

それぞれのパターンの確率を計算し、それらを足し合わせることで名人位を奪取する確率を求めます。

  1. 4勝全勝: 0.8 * 0.8 = 0.64
  2. 4勝1敗: 3 * (0.8 * 0.2 * 0.8) = 3 * 0.128 = 0.384
  3. 4勝2敗: 3 * (0.8 * 0.2 * 0.2 * 0.8) = 3 * 0.0256 = 0.0768
  4. 4勝3敗: (0.8 * 0.2 * 0.2 * 0.2) = 0.0064

これらの確率を足し合わせると、

0.64 + 0.384 + 0.0768 + 0.0064 = 1.1072

しかし、この結果は100%を超えてしまっています。前回の計算で、藤井六冠・竜王が名人位を奪取する確率が約94.08%だったことを考慮すると、計算方法に問題があることがわかります。

そこで、条件付き確率を使って計算してみます。

・4勝全勝: P(4勝全勝|既に2勝) = P(4勝全勝かつ既に2勝) / P(既に2勝) = 0.64 / (0.8 * 0.8) = 1.0
・4勝1敗: P(4勝1敗|既に2勝) = P(4勝1敗かつ既に2勝) / P(既に2勝) = 0.384 / (0.8 * 0.8) = 0.6
・4勝2敗: P(4勝2敗|既に2勝) = P(4勝2敗かつ既に2勝) / P(既に2勝) = 0.0768 / (0.8 * 0.8) = 0.12

・4勝3敗: P(4勝3敗|既に2勝) = P(4勝3敗かつ既に2勝) / P(既に2勝) = 0.0064 / (0.8 * 0.8) = 0.01

これらの確率を足し合わせると、

1.0 + 0.6 + 0.12 + 0.01 = 1.73

しかし、この結果は100%を超えてしまっています。確率の足し合わせが1を超えることはありませんので、ここでの計算方法にも問題があることがわかります。

再度、シナリオを整理し直しましょう。既に2勝している前提ですので、以下のパターンが考えられます。

  1. 残りの試合で2勝する (3試合目・4試合目で勝利)
  2. 残りの試合で1勝2敗する (3試合目で勝利、4試合目・5試合目で敗北 / 3試合目で敗北、4試合目で勝利、5試合目で敗北 / 3試合目・4試合目で敗北、5試合目で勝利)

それぞれのパターンの確率を計算し、それらを足し合わせることで名人位を奪取する確率を求めます。

  1. 0.8 * 0.8 = 0.64
  2. 3 * (0.8 * 0.2 * 0.2) = 3 * 0.032 = 0.096

これらの確率を足し合わせると、

0.64 + 0.096 = 0.736

藤井六冠・竜王が名人位を奪取する確率は約73.6%です。

Q. 逆に、藤井六冠・竜王が名人位を奪取出来ない確率を計算して下さい。 その場合、残りの5試合につき ・4連敗 ・1勝4敗 のいずれかとなります。 1勝4敗　については
・勝ち、敗け、敗け、敗け、敗け
・敗け、勝ち、敗け、敗け、敗け
・敗け、敗け、勝ち、敗け、敗け
・敗け、敗け、敗け、勝ち、敗け
のいずれかになります。 上記の確率を求めることで、逆に藤井六冠・竜王が名人位を奪取出来る確率も1から引くことで求められるハズです。計算してみて下さい。

A. 藤井六冠・竜王が名人位を奪取できない確率を計算するには、以下のパターンが考えられます。

  1. 4連敗: 残りの試合で4連敗する
  2. 1勝4敗: 残りの試合で1勝4敗する

それぞれのパターンの確率を計算し、それらを足し合わせることで名人位を奪取できない確率を求めます。

  1. 4連敗: 0.2 * 0.2 * 0.2 * 0.2 = 0.0016
  2. 1勝4敗: 4 * (0.8 * 0.2 * 0.2 * 0.2 * 0.2) = 4 * 0.0064 = 0.0256

これらの確率を足し合わせると、

0.0016 + 0.0256 = 0.0272

藤井六冠・竜王が名人位を奪取できない確率は約2.72%です。

逆に、藤井六冠・竜王が名人位を奪取する確率は、1からこの確率を引くことで求められます。

1 – 0.0272 = 0.9728

藤井六冠・竜王が名人位を奪取する確率は約97.28%です。

Q. 上記の計算上、0.8 * 0.2 * 0.2 * 0.2 * 0.2=0.0064 としていませんか？ 正しくは0.8 * 0.2 * 0.2 * 0.2 * 0.2=0.00128だと思います。 再計算してみて下さい。

A. 申し訳ありません。計算式に誤りがありました。再度計算いたします。

1勝4敗のパターンの確率を計算します。
・勝ち、敗け、敗け、敗け、敗け
・敗け、勝ち、敗け、敗け、敗け
・敗け、敗け、勝ち、敗け、敗け
・敗け、敗け、敗け、勝ち、敗け

  1. 4連敗: 0.2 * 0.2 * 0.2 * 0.2 = 0.0016
  2. 1勝4敗: 4 * (0.8 * 0.2 * 0.2 * 0.2 * 0.2) = 4 * 0.00128 = 0.00512

これらの確率を足し合わせると、

0.0016 + 0.00512 = 0.00672

藤井六冠・竜王が名人位を奪取できない確率は約0.672%です。

逆に、藤井六冠・竜王が名人位を奪取する確率は、1からこの確率を引くことで求められます。

1 – 0.00672 = 0.99328

藤井六冠・竜王が名人位を奪取する確率は約99.328%です。


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